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Primer y Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral

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Teorema fundamental del c lculo 1 Teorema fundamental del c lculo El teorema fundamental del c lculo consiste (intuitivamente) en la afirmaci n de que la derivaci n e integraci n de una funci n son operaciones inversas. Esto significa que toda funci n continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matem ticas denominada an lisis matem tico o c lculo. El teorema es fundamental porque hasta entonces el c lculo aproximado de reas -integrales- en el que se ven a trabajando desde Arqu medes, era una rama de las matem ticas que se segu a por separado al c lculo diferencial que se ven a desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar reas y vol menes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del " rea bajo una funci n" estaba ntimamente vinculado al c lculo diferencial, resultando la integraci n, la operaci n inversa a la derivaci n. Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del c lculo, y que permite calcular la integral de una funci n utilizando la integral indefinida de la funci n al ser integrada. Intuici n geom trica Sup ngase que se tiene una funci n continua y = f(x) y que su representaci n gr fica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una funci n A(x) que representa el rea bajo la curva entre 0 y x a n sin conocer su expresi n. Sup ngase ahora que se quiere calcular el rea bajo la curva entre x y x+h. Se podr a hacer hallando el rea entre 0 y x+h y luego restando el rea entre 0 y x. En resumen, el rea de esta especie de "loncha" ser a A(x+h) A(x). El rea rayada en rojo puede ser calculada como h f(x), o si se conociera la funci n A(X), como A(x+h) A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores peque os de h. Otra manera de estimar esta misma rea es multiplicar h por f(x) para hallar el rea de un rect ngulo que coincide aproximadamente con la "loncha". N tese que la aproximaci n al rea buscada es m s precisa cuanto m s peque o sea el valor de h. Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) A(x) es aproximadamente igual a f(x) h, y que la precisi n de esta aproximaci n mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, (x) h A(x+h) A(x), convirti ndose esta aproximaci n en igualdad cuando h tiende a 0 como l mite. Dividiendo los dos lados de la ecuaci n por h se obtiene Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuaci n es sencillamente la derivada A (x) de la funci n A(x) y que el miembro izquierdo se queda en (x) al ya no estar h presente. Se muestra entonces de manera informal que (x) = A (x), es decir, que la derivada de la funci n de rea A(x) es en realidad la funci n (x). Dicho de otra forma, la funci n de rea A(x) es la antiderivada de la funci n original. Teorema fundamental del c lculo 2 Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una funci n y "hallar el rea" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del c lculo integral. Primer teorema fundamental del c lculo Dada una funci n f integrable sobre el intervalo , entonces F es derivable en , definimos F sobre por y F'(c) = f(c). Consecuencia directa del primer teorema fundamental del c lculo infinitesimal es: Siendo f(t) una funci n integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables Demostraci n Lema Sea '''''' integrable sobre y Entonces Demostraci n Por definici n se tiene que . Sea h>0. Entonces Se define y . como: , Aplicando el 'lema' se observa que . Por lo tanto, Sea . Sean , . Aplicando el 'lema' se observa que . Como . Si f es continua en Teorema fundamental del c lculo 3 , entonces, . Puesto que , se tiene que . Y como es continua en c se tiene que , y esto lleva a que . Ejemplos Segundo teorema fundamental del c lculo Tambi n se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton-Leibniz. Dada una funci n f continua en el intervalo y sea g cualquier funci n primitiva de entonces: Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas. Demostraci n Sea . Tenemos por el primer teorema fundamental del c lculo que: . Por lo tanto, tal que Observamos que . , es decir g'(x)=f(x) para todo , Teorema fundamental del c lculo y de eso se sigue que 4 ; por lo tanto, . Y en particular si tenemos que: Ejemplos Como se puede integrar inmediatamente. V ase tambi n Regla de Barrow o Segundo Teorema Fundamental del C lculo Integral. M todos de integraci n Regla de Leibniz Integral de Riemann Referencias Enlaces externos El descubrimiento del c lculo integral (http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/ calculo.html) Universidad Aut noma de Madrid Interpretaci n gr fica del Teorema Fundamental del C lculo (http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/ geogebra/figuras/d7teorema.html) Manuel Sada Allo Weisstein, Eric W. Theorems of Calculus.html Teorema fundamental del c lculo (http://mathworld.wolfram. com/Fundamental) (en ingl s). MathWorld. Wolfram Research. Demostraci n Euclidiana del TFC (http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument& nodeId=388&bodyId=343) James Gregory, en Convergence (http://mathdl.maa.org/convergence/1/) (en ingl s) Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus (http://www.maths.uwa.edu.au/~schultz/3M3/ L18Barrow.html) (en ingl s) Fuentes y contribuyentes del art culo Fuentes y contribuyentes del art culo Teorema fundamental del c lculo Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50315606 Contribuyentes: 19jp87, Af3, Akma72, AlfonsoERomero, Alfredobi, Alpha Floor, Amizzau, Argoroth, Arielmusico, Bucephala, Camilo, Cinabrium, Damian cf, Diegusjaimes, Drini2, Eligna, Farisori, Faustito, Figempa 2a, Gafotas, Gengiskanhg, GermanX, G tz, HGuillen, Ilarrosa, JorgeGG, Juan Mayordomo, Kn, Leandroccl3, Log2x, Maldoror, Maleiva, Mandos, Matdrodes, Mdiagom, Miguej, Moriel, Netito777, Pino, PoLuX124, Prometheus, Pyr0, Queninosta, R, RGLago, Rafiko77, Tano4595, Tirithel, Varano, Victorlj92, Vitamine, Wricardoh, Xgarciaf, Yeza, Yrithinnd, 208 ediciones an nimas Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:FTC geometric.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FTC_geometric.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Truejim Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ 5

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